Identidades Fundamentales

Bibliografia: Precalculo james steward lothard redling y saleem watson tercera edicion

Idenntidades reciprocas:

  Csc t=1/sen t     sec t = 1/cos t

  Cot t = 1/tan t    tan t = sen t/cost

  Cot t = cos t/sen t

Identidades Pitagóricas:

Sen²t + cos²t = 1   tan²t+1 = sec²t

1+cot²t = csc² t

Las identidades reciprocas son consecuencia inmediata de la definición de la regla que asigna a cada numero real otro numero real. Ahora demostraremos las identidades pitagóricas. Por definicion, cos t = x  y sen t = y donde x y y son las coordenadas de un punto P(x,y) en el circulo unitario. Dado que P(x,y) esta en el circulo unitario, tenemos que x²+y² = 1 por lo que:
              Sen²+ cos² t = 1

Diviendo ambos lados entre cos² t (siempre y cuando cos t ‡ 0), obtenemos:

Sen²t/cos²t  +  cos²t/cos ²t
= 1/cos²

(Sen t/cost t)² + 1 = ( 1/cos t)²
                    
  Tan²t + 1 = sec² t

Hemos utilizado las identidades reciprocas sen t/ cos t = tan t y
1/ cos t = sec t. De manera similar, dividiendo ambos lados de la primera identidad pitagórica entre sen² t (siempre y cuando sen ‡ 0), obtenemos 1 + cot² t = csc²t.

Como su nombre indica, las identidades son fundamentales en la trigonometría. Esto se debe a que pueden utilizarse para relacionar cualquier función trigonométrica con alguna otra. Por lo tanto, si conocemos el valor de cualquiera de las funciones trigonométricas en t.

Ejemplo: Determinación de todas las funciones trigonométricas a partir del valor de una.

Si cos t = 3/5 y t esta en el cuadrante IV, determine los valores de todas las funciones trigonométricas en t.

Solución: de las identidades pitagóricas tenemos

•Sustituyendo cos t = 3/5
•Resuelva para sen²t
•Extraiga las raices cuadradas

Sen²t + cos² t = 1       
Sen²t + (3/5)² = 1
Sen²t = 1 - 9/5 = 16/2
Sen² t = ± 4/5

Dado que este punto esta en el cuadrante IV , sen t es negativo y sen t = -4/-5. Ahora que ya conocemos sen t y cos t, podemos determinar los valores de las demas funciones trigonométricas utilizando las demás reciprocas:

•Sen t = -4/-5        •Cos t = 3/5

•Tan t = sen t / cos t = (-4/-5) ÷ (3/5)
= -4/-3

•Csc = 1/sen t = -5/-4

•Sec = 1/cos t = 5/3

•Cot = 1/tan t = -3/-4

Ejemplo: Expresión de una función trigonométrica en función de otra.

Escriba tan t en función de cos t, estando t en el cuadrante III.

Solución: Puesto que
tan t = sen t/cos t, es necesario que expresemos sen t en función de cos de t. De acuerdo con las identidades pitagóricas tenemos:
           
Resuelva para sen²t.
Extraiga las raíces cuadradas

     Sen² t + cos² t = 1
     Sen² t = 1-cos² t
     Sen t = ± √1-cos² t

Puesto que sen t es negativo en el cuadrante III, aquí se aplica el signo negativo.
Entonces,
                
Tan t=sen t / cos t = -√ 1-cos²t/cos t