Propiedades Periodicas de las Funciones Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante

 Las funciones tangente y cotangente tienen un periodo π.

  tan ( x +  π ) = tan x          Cot ( x + π ) = cot x

                                          

Las funciones cosecante y secante tienen un periodo 2π.

  csc ( x + 2π  ) = csc x        Sec ( x + 2π ) = sec x  

 Primero dibujamos la grafica de la tangente. Como tiene su periodo π, solamente necesitamos trazar la grafica en cualquier intervalo de longitud π y despues repetir el patron hacia la izquierda y hacia la derecha. Trazamos la grafica en el intervalo (-π/2, π/2). Puesto que tan π/2 y tan (-π/2) no estan definidos, es necesario que tengamos cuidado al esbozar la grafica en los puntos cercanos a π/2 y a -π/2. Conforme x se acerca a π/2 desde valores inferiores a π/2, el valor de tan x se hace grande. En el margen se presenta una tabla de valores de tan x para x cercano a π/2.

 

La grafica completa de la tangente se obtiene ahora utilizando el hecho de que la tangente es periodica con periodo π.

   

La grafica de y = cot x se traza en el intervalo (0, π) utilizando un analisis similar. Dado que cot x no esta definida para x = nπ, siendo n un entero, su grafica completa tiene para estos valores asintotas verticales.

Para trazar las graficas para las funciones cosecante y secante utilizamos las identidades reciprocas:

                                            

                                              cosx  = 1/ sen x          y      sec x = 1/ cos x

Por lo tanto para graficar y = csc x obtenemos las reciprocas de las coordenadas y de los puntos de la grafica y = sen x. De manera similar, para graficar y = sec x tomamos las reciprocas de las coordenadas y de los puntos de la grafica de y = cos x.

Analizando los valores se ve que csc x no esta definida por lo tanto:

 csc x ⇒ ∞  conforme x ⇒ 0

    csc x ⇒ ∞  conforme x ⇒ π  

Asi las rectas x = 0 y x = π son asintotas verticales. En el intervalo π < x < 2π la grafica se traza de la misma manera. Los valores de csc x en este intervalo son los mismos a los correspondientes al intervalo 0 < x < π, excepto por el signo.

Ahora se obtiene la grafica completa en la figura partiendo del hecho de que la funcion cocecante es periodica con periodo 2π.

 

La grafica de y = sec x se obtiene de una manera similar. Observe que el dominio de sec x es el conjunto de todos los numeros reales diferentes a x = (π/2) + nπ siendo n un entero, por lo que la grafica tiene asintotas verticales en dichos puntos.

Resulta evidente que las graficas de y = tan x, y = cot x y y = csc x  son simetricas respecto al origen, en tanto que y = sec x es simetrica respecto al eje y. Esto se debe a que la tangente, cotangente y la cosecante son funciones impares, en tanto que la secante es una funcion par.