Representacion Funcion Seno con animacion en Geogebra

Bibliografia

Precalculo con avances de calculo quinta edicion Dennis G. Jackeline M.

Propiedades Periodicas de las Funciones Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante

 Las funciones tangente y cotangente tienen un periodo π.

  tan ( x +  π ) = tan x          Cot ( x + π ) = cot x

                                          

Las funciones cosecante y secante tienen un periodo 2π.

  csc ( x + 2π  ) = csc x        Sec ( x + 2π ) = sec x  

 Primero dibujamos la grafica de la tangente. Como tiene su periodo π, solamente necesitamos trazar la grafica en cualquier intervalo de longitud π y despues repetir el patron hacia la izquierda y hacia la derecha. Trazamos la grafica en el intervalo (-π/2, π/2). Puesto que tan π/2 y tan (-π/2) no estan definidos, es necesario que tengamos cuidado al esbozar la grafica en los puntos cercanos a π/2 y a -π/2. Conforme x se acerca a π/2 desde valores inferiores a π/2, el valor de tan x se hace grande. En el margen se presenta una tabla de valores de tan x para x cercano a π/2.

 

La grafica completa de la tangente se obtiene ahora utilizando el hecho de que la tangente es periodica con periodo π.

   

La grafica de y = cot x se traza en el intervalo (0, π) utilizando un analisis similar. Dado que cot x no esta definida para x = nπ, siendo n un entero, su grafica completa tiene para estos valores asintotas verticales.

Para trazar las graficas para las funciones cosecante y secante utilizamos las identidades reciprocas:

                                            

                                              cosx  = 1/ sen x          y      sec x = 1/ cos x

Por lo tanto para graficar y = csc x obtenemos las reciprocas de las coordenadas y de los puntos de la grafica y = sen x. De manera similar, para graficar y = sec x tomamos las reciprocas de las coordenadas y de los puntos de la grafica de y = cos x.

Analizando los valores se ve que csc x no esta definida por lo tanto:

 csc x ⇒ ∞  conforme x ⇒ 0

    csc x ⇒ ∞  conforme x ⇒ π  

Asi las rectas x = 0 y x = π son asintotas verticales. En el intervalo π < x < 2π la grafica se traza de la misma manera. Los valores de csc x en este intervalo son los mismos a los correspondientes al intervalo 0 < x < π, excepto por el signo.

Ahora se obtiene la grafica completa en la figura partiendo del hecho de que la funcion cocecante es periodica con periodo 2π.

 

La grafica de y = sec x se obtiene de una manera similar. Observe que el dominio de sec x es el conjunto de todos los numeros reales diferentes a x = (π/2) + nπ siendo n un entero, por lo que la grafica tiene asintotas verticales en dichos puntos.

Resulta evidente que las graficas de y = tan x, y = cot x y y = csc x  son simetricas respecto al origen, en tanto que y = sec x es simetrica respecto al eje y. Esto se debe a que la tangente, cotangente y la cosecante son funciones impares, en tanto que la secante es una funcion par.

Aplicación y Finalidad de las Funciones Trigonometricas

Las funciones trigonométricas sirven para describir fenómenos periódicos, como el flujo y reflujo diario de las mareas.

La trigonometría es una de las ramas mas versátiles de las matemáticas. Desde su invención en el viejo mundo, ha sido importante tanto en aplicaciones teóricas como practicas. En los tiempos modernos se ha aplicado en campos tan diversos como el procesamiento de señales en la industria telefónica, la codificación de musica en reproductores de disco compacto, la determinación de las distancias a las estrellas, el diseño de sistemas de navegación en el transbordador espacial, la producción de rastreos CAT para uso medico, y muchos otros. Es una herramienta indispensable para los ingenieros electricistas, los físicos, los científicos de la computación y prácticamente para todas las ciencias.
El poder y la versatilidad de la trigonometría provienen del hecho que puede considerarse de dos maneras diferentes. Una de ellas define la trigonometría como el estudio de funciones de números reales, la otra como el estudio de funciones de ángulos.

Aquellas funciones trigonométricas definidas en estas dos formas son idénticas -asignan el mismo valor a un numero real dado ( en el segundo caso, el numero real es una medida de un ángulo ). La deferencia es solo de un punto de vista, y esta es mas aparente cuando vemos las aplicaciones de la trigonometría.
Un punto de vista se presta a aplicaciones que abarcan procesos dinámicos como el movimiento armónico, el estudio de las ondas sonoras y la descripción de otros fenómenos periódicos, mientras que el otro enfoque permite aplicaciones estáticas, en general, aplicaciones que comprenden la medición de longitudes y direcciones. 

Propiedades de Periodicidad del Seno y del Coseno

La gráfica de una función nos ayuda a tener una mejor comprensión de su comportamiento. En esta sección obtenemos las gráficas de la funciones seno y coseno y de ciertas transformaciones de estas funcione. La gráfica de las demás funciones trigonométricas se obtendrán en la sección siguiente.

Gráficas de las funciones seno y coseno

Para ayudarnos a trazar las gráficas de las funciones seno y coseno, primero notamos que estas funciones toman sus valores de manera periódica. Para ver exactamente como ocurre lo anterior, recuerde que la circunferencia del circulo unitario es 2π. De ahí se deduce que el punto terminal P(x,y) determinado por el numero real t es el mismo que el determinado por t + 2π. Puesto que las funciones seno y coseno están definidas en términos de coordenadas de P(x,y) se deduce que sus valores no cambian al sumar cualquier múltiplo entero de 2π. En otras palabras

                                   
                                         Sen (t + 2nπ) = sen t  para cualquier
                                                                              entero de n

                                   
                                         Cos (t + 2nπ) = cos t  para cualquier  
                                                                              entero de n

Por lo tanto, las funciones seno y coseno son periodicas de acuerdo con la siguiente definicion: una funcion f es periodica si existe un numero positivo p tal que f(t+p) = f(t) para toda t. El numero positivo mas pequeño correspondiente (si existe) es el periodo de f. Si f tiene un periodo p, entonces la grafica de f en cualquier intervalo de longitud p se conoce como un periodo completo de f .

                                  La funcion seno tiene un periodo 2π: sen ( t + 2π ) = sen t
                                 La funcion coseno tiene un periodo 2π: cos ( t + 2π ) = cos t 

Acontinuacion la tabla y la respectivaa funcion trigonometrica graficada de seno y se coseno

Identidades Fundamentales

Bibliografia: Precalculo james steward lothard redling y saleem watson tercera edicion

Idenntidades reciprocas:

  Csc t=1/sen t     sec t = 1/cos t

  Cot t = 1/tan t    tan t = sen t/cost

  Cot t = cos t/sen t

Identidades Pitagóricas:

Sen²t + cos²t = 1   tan²t+1 = sec²t

1+cot²t = csc² t

Las identidades reciprocas son consecuencia inmediata de la definición de la regla que asigna a cada numero real otro numero real. Ahora demostraremos las identidades pitagóricas. Por definicion, cos t = x  y sen t = y donde x y y son las coordenadas de un punto P(x,y) en el circulo unitario. Dado que P(x,y) esta en el circulo unitario, tenemos que x²+y² = 1 por lo que:
              Sen²+ cos² t = 1

Diviendo ambos lados entre cos² t (siempre y cuando cos t ‡ 0), obtenemos:

Sen²t/cos²t  +  cos²t/cos ²t
= 1/cos²

(Sen t/cost t)² + 1 = ( 1/cos t)²
                    
  Tan²t + 1 = sec² t

Hemos utilizado las identidades reciprocas sen t/ cos t = tan t y
1/ cos t = sec t. De manera similar, dividiendo ambos lados de la primera identidad pitagórica entre sen² t (siempre y cuando sen ‡ 0), obtenemos 1 + cot² t = csc²t.

Como su nombre indica, las identidades son fundamentales en la trigonometría. Esto se debe a que pueden utilizarse para relacionar cualquier función trigonométrica con alguna otra. Por lo tanto, si conocemos el valor de cualquiera de las funciones trigonométricas en t.

Ejemplo: Determinación de todas las funciones trigonométricas a partir del valor de una.

Si cos t = 3/5 y t esta en el cuadrante IV, determine los valores de todas las funciones trigonométricas en t.

Solución: de las identidades pitagóricas tenemos

•Sustituyendo cos t = 3/5
•Resuelva para sen²t
•Extraiga las raices cuadradas

Sen²t + cos² t = 1       
Sen²t + (3/5)² = 1
Sen²t = 1 - 9/5 = 16/2
Sen² t = ± 4/5

Dado que este punto esta en el cuadrante IV , sen t es negativo y sen t = -4/-5. Ahora que ya conocemos sen t y cos t, podemos determinar los valores de las demas funciones trigonométricas utilizando las demás reciprocas:

•Sen t = -4/-5        •Cos t = 3/5

•Tan t = sen t / cos t = (-4/-5) ÷ (3/5)
= -4/-3

•Csc = 1/sen t = -5/-4

•Sec = 1/cos t = 5/3

•Cot = 1/tan t = -3/-4

Ejemplo: Expresión de una función trigonométrica en función de otra.

Escriba tan t en función de cos t, estando t en el cuadrante III.

Solución: Puesto que
tan t = sen t/cos t, es necesario que expresemos sen t en función de cos de t. De acuerdo con las identidades pitagóricas tenemos:
           
Resuelva para sen²t.
Extraiga las raíces cuadradas

     Sen² t + cos² t = 1
     Sen² t = 1-cos² t
     Sen t = ± √1-cos² t

Puesto que sen t es negativo en el cuadrante III, aquí se aplica el signo negativo.
Entonces,
                
Tan t=sen t / cos t = -√ 1-cos²t/cos t

Introducción Funciones trigonométricas

*En su forma original, las funciones trigonométricas se definieron usando ángulos rectángulos. Un método mas moderno, que se usa en calculo, es definir las funciones trigonométricas en números reales.
A cada numero real t le corresponde un ángulo de t radianes en su posición normal. Entonces el seno de t, representado por sen t, y el coseno de t, representado por cos t, son:
      
                        Sen t = Y
                        Cos t = Y
Debido a que cada numero real t corresponde un punto único P(t) = (cos t, sen t), acabamos de definir dos funciones, las funciones seno y coseno, y cada una tiene como dominio el conjunto R de los números reales. Debido al papel que juega el circulo unitario en esta definición a veces se llaman funciones circulares a las funciones trigonométricas.
Hay varias propiedades de las funciones seno y coseno que son consecuencia de que (t) = (cos t,sen t)
este en el circulo unitario. Por ejemplo, las coordenadas de P(t) deben satisfacer la ecuación de ese circulo
                       x² + y² = 1
Al sustituir x= cos t y y = sen t se obtiene una importante relación entre el seno y el coseno llamada identidad pitagorica.

          (Cos de t)² + ( sen t ) = 1

Para todos lo números reales t
                
          -1 ≤ sen t ≤ 1 y -1 ≤ cos t ≤ 1

*Fragmento libro Precalculo con avances de calculo quinta edicion del autor Dennis G Zill y Jacqueline M. Deward .